题目

如图所示，一辆汽车从 市出发沿海岸一条直公路以 的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在 市南偏东30°方向距 市 的海上 处有一快艇与汽车同时出发，要把一份稿件送给这辆汽车的司机.问快艇至少以多大的速度，以什么样的航向行驶才能最快把稿件送到司机手中？ 答案：解：如图所示，设快艇以 vkm/h 的速度从 B 处出发，沿 BC 方向， t 小时后与汽车在 C 处相遇.在 ΔABC 中， ∠BAC=60° ， AB=600 ， AC=100t ， BC=vt ，由余弦定理 BC2=AC2+AB2−2AB⋅ACcos60° ，∴ v2t2=(100t)2+6002−2×600×100t⋅12 ，整理得： v2=360000t2−60000t+10000=360000[1t2−2⋅112⋅1t+(112)2]+7500=360000(1t−112)2+7500 .当 t=12(h) 时， vmax2=7500 ，∴ v=503 .∴快艇至少以 503km/h 的速度行驶时才能最快把稿件送到司机手中.当 v=503km/h 时，在 ΔABC 中，AB=600 ， AC=100×12=1200 ， BC=503×12=6003 ，∴ AB2+BC2=AC2 ，∴ ∠ABC=90° .故快艇至少以 503km/h 的速度，以北偏东60°的方向（与 AB 垂直）航行才能最快把稿件送达司机手中.

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