题目

已知A,B是抛物线 上位于 轴两侧的不同两点 （1） 若CD在直线 上，且使得以ABCD为顶点的四边形恰为正方形，求该正方形的面积. （2） 求过A、B的切线与直线 围成的三角形面积的最小值； 答案： 解：设直线 AB:y=x+b 联立直线AB与抛物线方程得： x2+x+b=0 易得： |AB|=21−4b 直线AB与CD之间的距离为 |4−b|2 令 |4−b|2=21−4b ，可得 b=−2或−6 所以该正方形的边长为 32 或 52 面积为18或50 解：设 A(a,−a2) ， B(b,−b2) （由对称性不妨设 a<0,b>0 ） 则 A 处的切线方程为： y=−2ax+a2 ，与直线 y=−1 交点记为M，则 M(a2+12a,−1) 则 B 处的切线方程为： y=−2bx+b2 ，与直线 y=−1 交点记为N，则 N(b2+12b,−1) 两条切线交点P (a+b2,−ab) S△PMN=12(b2+12b−a2+12a)(−ab+1) =(b−a)(ab−1)(−ab+1)4ab （令 t=−a ） =(b+t)(1+bt)24bt ≥2bt(1+bt)24bt 于是 =(1+bt)22bt (令 bt=q ) =(1+q2)22q ∵1+q2=13+13+13+q2≥4127q24 ∴(1+q2)22q≥(4127q24)22q=839 当 b=−a=33 时取到等号 所以该三角形面积的最小值为 839

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