题目

（本小题满分12分） 已知矩形与正三角形所在的平面互相垂直， 、分别为棱、的中点，,， (1)证明：直线平面； (2)求二面角的大小． 答案：（1）证明：方法一： 取EC的中点F，连接FM，FN， 则，，，  ………………………2分 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，                            …………………………………4分 因为平面，平面， 所以直线平面；                   …………………………………6分 （2）解：由题设知面面，， 又，∴面，作于，则，作，连接，由三垂线定理可知， ∴就是二面角的平面角，   …………………………………9分 在正中，可得，在中，可得，故在中，，                      …………………………………11分 所以二面角的大小为       …………………………………12分        方法二：如图以N为坐标原点建立空间右手 直角坐标系,所以   …1分 （1）取EC的中点F ，所以，                    设平面的一个法向量为，因为， 所以，；所以，  ……………3分 因为，，所以   ………………………5分 因为平面，所以直线平面     ………………………7分 （2）设平面的一个法向量为，因为， 所以，；所以……………9分          ………………………………11分 因为二面角的大小为锐角, 所以二面角的大小为     ………………………………12分

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