题目

已知函数 是 上的偶函数． （1） 求 值； （2） 解 的不等式的解集； （3） 若关于 的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围． 答案： 解：∵f（x）为偶函数， ∴f（﹣x）＝f（x）恒成立， ∴f（﹣x）﹣f（x）＝0恒成立， ∴ 2xa+a2x=2−xa+a2−x ，恒成立， 即 (1a−a)(2x−2−x)=0 恒成立， ⇒1a−a=0⇒a=±1 ， ∵a＞0，∴a＝1，∴a＝1 解：由（1）知 f(x)=2x+2−x−1<134⇒(2x)2−174⋅2x+1<0 ， 设2x＝t，则不等式即为 t2−174t+1<0⇒14<t<4 ， ∴ 14<2x<4⇒−2<x<2 ， 所以原不等式解集为（﹣2，2） 解：f（x）＝2x+2﹣x﹣1， mf（x）≥2﹣x﹣m， 即m ≥2−x2x+2−x 在（0，+∞）恒成立， 设t＝2x，（t＞1），则m ≥1t2+1 在t＞1恒成立， 又y =1t2+1 在t＞1单调递减，得 0<y<12 故 m≥12 ．

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