题目

老师布置了一道题：“已知A、B、C在同一直线上，AB=3cm，BC=1cm，求AC的长.”甲同学和乙同学分别给出了下列的解法一、解法二. （1） 请认真阅读下列解法，并填空： 解法一：根据题意可分如下两种情形： ①C点在线段AB上；②C点在线段AB延长线上 AC==3－1=2（cm），AC==3+1=4（cm） 所以线段AC的长为2cm或4cm. 解法二：在直线AB上，以点A为原点，点A向右的方向为正方向，线段AB的长为3个单位长度建立如图所示的数轴. 则A：表示的数为0，B：表示的数为3；∵BC=1，∴点C表示的数为；所以线段AC的长为2cm或4cm. （2） 丙同学学习了以上两种解法后若有所悟，觉得解法二很好，在解决线段的计算问题时，利用数形结合法比较简单.于是给同学们出了这样一道题：已知A、B、C、D在同一直线上，AB=3cm，BC=1cm，AD=1.5cm，求CD的长.请利用数形结合法解答丙同学的试题. （3） 丁同学做完了丙同学的试题后，深受启发，觉得数形结合法太妙了，可以妙解点或线段的动态问题，于是编了以下试题：已知线段AB=3，线段CD在直线AB上运动，且CD=5，在运动的过程中，若点M、N分别为线段AC、BD的中点，求线段MN的长度.请用数形结合法解答丁同学的试题. 答案： 【1】AB－BC【2】AB+BC【3】2或4 解：在直线AB上，以点A为原点，点A向右的方向为正方向，线段AB的长为3个单位长度建立如图所示的数轴，则A：0，B：3， ∵BC=1， ∴点C表示的数为：2或4， ∵AD=1.5， ∴点D表示的数为：±1.5， ∴①当点D表示1.5，点C表示2时， 则CD=2－1.5=0.5， ②当点D表示-1.5，点C表示2时， 则CD=2－（－1.5）=3.5， ③当点D表示1，5，点C表示4时， 则CD=4－1.5=2.5， ④当点D表示-1.5，点C表示4时， 则CD=4－（－1.5）=5.5， ∴CD=0.5或2.5或3.5或5.5； 解：在直线AB上，以点A为原点，点A向右的方向为正方向，线段AB的长为3个单位长度建立如图所示的数轴，则A：0，B：3 ∵线段CD在直线AB上运动，且CD=5， 令点C表示：a，则点D表示：a+5或a－5； ∵点M为AC的中点， ∴点M表示： a2 . ∵点N为BD的中点， ∴点N表示： a+5+32 或 a−5+32 ， 当点N表示： a+5+32 NM= |a+5+32-a2|=82=4 当点N表示： a−5+32 ， MN= |a−5+32-a2|=5−32=1 . ∴线段MN的长度为4或1.

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