题目

已知 ， . （1） 当 时，求 ； （2） 若 ，求实数a的取值范围. 答案： 解： A={x|x2−2x−8=0}={−2,4} , 当 a=2 时, B={x|x2+2x−8=0}={−4,2} ,故 A∩B=∅ . 解：(法一)若 B∪A=A ，则 B⊆A ∵ A={x|x2−2x−8=0}={−2,8} ， ∴集合 B 有以下三种情况: ①当 B=∅ 时， Δ=a2−4(a2−12)<0 ，即 a2>16 ， ∴ a<−4 或 a>4 . ②当 B 是单元素集时， Δ=a2−4(a2−12)=0 ， a=−4 或 a=4 . 若 a=−4 ，则 B={2} ，不符合题意；若 a=4 ，则 B={−2} ⊆ A . ③当 B={−2,4} 时， −2,4 是方程 x2+ax+a2−12=0 的两根， ∴ {−a=−2+4a2−12=−2×4 ，解得 a=−2 . 综上可得a的取值范围为 {a|−4≤a<4,且a≠−2} . (法二)∵ A={x|x2−2x−8=0} ={−2,8} ， 又∵ B∪A≠A ∴ B 中方程有解，且至少有一解不等于 −2 或 4 . ∴ Δ=a2−4(a2−12)≥0 ，即 −4≤a≤4 . 此时，可分三种情况: ①当 a=−4 时， B={2} ⊆ A ,满足 B∪A≠A ； ②当 a=4 时， B={−2} ⊆ A ，不合题意； ③当 −4<a<4 时， B 中有两个元素，若 B={−2,4} ，则 a=−2 ，故 a≠−2 . 综上，实数a的取值范围为 {a|−4≤a<4,且a≠−2} .

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