题目

求由直线x＝1、x＝2、y＝0及曲线 围成的图形的面积S. 答案：解：⑴分割：在区间[1,2]上等间隔地插入n－1个点，将它等分成n个小区间：[1,n+1n],[n+1n,n+2n],⋯,[n+n−1n,2] ，则第i个区间为 [n+i−1n,n+in] (i＝1，2，…，n)，其长度为Δx＝ n+in−n+i−1n=1n ，分别过上述n－1个分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形(如图)，它们的面积记作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSn，则小曲边梯形面积的和为S＝ ∑i=1nΔSi .⑵近似代替：记f(x)＝ 1x2 .当n很大，即Δx很小时，在区间 [n+i−1n,n+in] 上，可以认为f(x)＝ 1x2 的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它等于 f(n+i−1n⋅n+in) ．从图形上看，就是用平行于x轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边．这样，在区间 [n+i−1n,n+in] 上，用小矩形面积ΔSi′近似地代替ΔSi，即在局部小范围内“以直代曲”，则有ΔSi≈ΔSi′＝ f(n+i−1n⋅n+in) Δx＝ ∑i=1nn(n+i−1)(n+i) ＝ n(n+i−1)(n+i) (i＝1，2，…，n)．⑶求和：小曲边梯形的面积和Sn＝ ∑i=1nΔ Si≈ ∑i=1nΔ Si′＝ ∑i=1nn(n+i−1)(n+i) ＝nn(n+1)+n(n+2)(n+1)+⋯+n(n+n−1)(n+n)＝ n(1n−1n+1+1n+1−1n+2+⋯+1(n+n−1)−1n+n)= n(1n−12n) = 12 .从而得到S的近似值S≈Sn＝ 12 .⑷取极限：分别将区间[1，2]等分成8，16，20，…等份时，Sn越来越趋向于S，从而有S＝ limn→∞ Sn＝ 12 .∴由直线x＝1，x＝2，y＝0及曲线y＝ 1x2 围成的图形的面积S为 12

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