题目

为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担.李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯.已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=﹣10x+500. （1） 李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？ （2） 设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ （3） 物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元.如果李明想要每月获得的利润不低于300元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？ 答案： 解：当x=20时，y=﹣10x+500=﹣10×20+500=300， 300×（12﹣10）=300×2=600， ∴政府这个月为他承担的总差价为600元. 解：依题意得， w=(x−10)(−10x+500)=−10x2+600x−5000=−10(x−30)2+4000 ， ∵a=﹣10＜0，∴当x=30时，w有最大值4000. ∴当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000. 解：由题意得：﹣10x2+600x﹣5000=3000， 解得：x1=20，x2=40. ∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下， ∴结合图象可知：当20≤x≤40时，w≥3000. 又∵x≤25，∴当20≤x≤25时，w≥3000. 设政府每个月为他承担的总差价为p元， ∴ p=(12−10)⋅(−10x+500)=−20x+1000 . ∵k=﹣20＜0，∴p随x的增大而减小. ∴当x=25时，p有最小值500. ∴销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元.

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