题目

在曲线y=x3－x上有两个点O(0,0)、A(2,6),求弧OA上使△AOP的面积最大的点P的坐标. 答案：解法一:∵kOA=3,∴过弧OA上点P的直线的斜率k′=kOA=3.                      2分 ∴k′=y′=3x2－1=3.∴3x2=4.                                                                   6分 ∴x=或x=－(舍去).                                                                   8分 ∴x=, y=, 即P(,).                                                     10分 解法二:设P(a,a3－a), ∵O(0,0),A(2,6), ∴直线OA的方程为3x－y=0. 点P到它的距离d= ∵0<a<2,∴4a>a3. ∴d2=(4a－a3). 把d2视作一个整体, ∵(d2)′=(4－3a2), 令4－3a2=0,得a=或a=－. 又∵0<a<2, ∴a=时取最大值. 此时y=()3－=. ∴P(,). 解析:本题主要考查数形结合的数学思想及导数的几何意义.将点P的位置转化到与曲线y=x3－x相切且与OA平行的位置,此时点P到|OA|的距离最大.也可设点,构造目标函数求最值.

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