题目

已知函数y＝f(x)的定义域为R，且满足（1）f(1)=3（2）对于任意的 ，总有 .（3）对于任意的 （I）求f(0)及f(－1)的值（II）求证：函数y＝f(x)－1为奇函数（III）若 ，求实数m的取值范围 答案：解：解：（Ⅰ）∵对于任意 u，v∈R ，都有 f(u+v)=f(u)+f(v)−1 ，∴令 u=0 ， v=1 ，得 f(1)=f(0)+f(1)−1 ，∴ f(0)=1 ．令 u=1 ， v=−1 ，则 f(0)=f(1)+f(−1)−1 ，∴ f(−1)=−1 ．（Ⅱ）令 u=x ， v=−x ，则有 f(0)=f(x)+f(−x)−1 ，∴ f(x)+f(−x)=2 ，令 g(x)=f(x)−1 ，则 g(−x)=f(−x)−1 ，∴ g(x)+g(−x)=f(x)+f(−x)−2=0 ，即 g(x)=−g(−x) ．故 y=g(x)=f(x)−1 为奇函数．（Ⅲ）∵对于任意的 u，v∈R ， u−v≠0 ， (u−v)[f(u)−f(v)]>0 ，∴ f(x) 在其定义域上为单调增函数，∵ f(12m2)−2f(m−12)>−2⇔f(12m2)−[f(2m−1)+1]>−2⇔f(12m2)+2−f(2m−1)−1>0⇔f(12m2)+f(1−2m)−1>0⇔f(12m2+1−2m)>0 ．且 f(−1)=f(−12)+f(−12)−1=−1 ，∴ f(−12)=0 ，∴ f(12m2+1−2m)>f(−12) ，∴ 12m2+1−2m>−12 ，即 m2−4m+3>0 ，解得 m<1 或 m>3 ．故实数 m 的取值范围是 (−∞，1)∪​(3，+∞) .

查看本题答案和解析