题目

四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一个平行四边形，=(2，-1，-4)，=(4，2，0)，=(-1，2，-1).(1)求证PA⊥底面ABCD；(2)求四棱锥P—ABCD的体积；(3)对于向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),c=(x3,y3,z3),定义一种运算：(a×b)·c=x1y2z3+x2y3z1+x3y1z2-x1y3z2-x2y1z3-x3y2z1.    试计算(×)·的绝对值的值；说明其与四棱锥P—ABCD体积的关系，并由此猜想向量这一运算(×)·的绝对值的几何意义. 答案：解析：(1)∵·=-2-2+4=0， ∴AP⊥AB.    又∵·=-4+4+0=0，∴AP⊥AD，∵AB、AD是底面ABCD上的两条相交直线，∴AP⊥底面ABCD.(2)设与的夹角为θ，则cosθ==.V=||·||·sinθ·||=··=16.(3)|(×)·|=|-4-32-4-8|它是四棱锥P—ABCD体积的3倍.    猜测：|(×)·|在几何上可表示以AB、AD、AP为棱的平行六面体的体积(或以AB、AD、AP为棱的直四棱柱的体积).

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