题目

在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D是AB的中点．E在线段CA的延长线上，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC的延长线于点F，连接EF．求证：AE2＋BF2＝EF2. 答案：证明：过点B作AC的平行线交ED的延长线于点G，连接FG， ∵ BG//AC ， ∴ ∠EAD=∠GBD ， ∠DEA=∠DGB ， ∵D是AB的中点， ∴ AD=BD ， ∴ △EAD≅△GBD(AAS) ， ∴ ED=GD ， AE=BG ， 又∵ DF⊥DE ， ∴DF是线段EG的垂直平分线， ∴ EF=FG ， ∵ ∠C=90° ， BG//AC ， ∴ ∠GBF=∠C=90° ， 在 Rt△BGF 中，由勾股定理得： FG2=BG2+BF2 ， ∴ EF2=AE2+BF2 ．

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