题目

已知椭圆C: 的离心率为 ，且过点（1， ）． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设与圆 相切的直线 交椭圆C于A，B两点，求 面积的最大值，及取得最大值时直线 的方程． 答案：解：（Ⅰ）由题意可得： {1a2+23b2=1ca=63 a2=3,b2=1,∴x23+y2=1 （Ⅱ）①当 k 不存在时， x=±32,∴y=±32 ， ∴SΔOAB=12×3×32=34 ②当 k 不存在时，设直线为 y=kx+m ， A(x1,y1) , B(x2,y2) , {x23+y2=1y=kx+m , (1+3k2)x2+6km+3m2−3=0 x1+x2=−6km1+3k2,x1x2=3m2−31+3k2 d=r⇒4m2=3(1+k2) |AB|=1+k2(−6km1+3k2)=3⋅1+10k2+9k41+6k2+9k4=3⋅1+4k21+6k2+9k4 =3×1+41k2+9k2+6≤2 当且仅当 1k2=9k2 ，即 k=±33 时等号成立 ∴SΔOAB=12|AB|×r≤12×2×32=32 ， ∴ΔOAB 面积的最大值为 32 ，此时直线方程 y=±33x±1 .

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