题目

已知双曲线 经过点（2，3），两条渐近线的夹角为 ，直线 交双曲线于A，B两点. （1） 求双曲线C的方程. （2） 若直线l过双曲线的右焦点 ，在x轴上是否存在点 ，使得直线 绕点 无论怎样转动，都有 成立？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由. 答案： 双曲线的渐近线方程为 y=±bax .因为两条渐近线的夹角为 π3 ， 所以渐近线 y=bax 的倾斜角为 π3 或 π6 ，所以 ba=3 或 ba=33 . 又点（2，3）在双曲线C上，所以 4a2−9b2=1 ， 故 {b=3a4a2−9b2=1 或 {a=3b4a2−9b2=1 ， 解得 {a2=1b2=3 ，所以双曲线C的方程为 x2−y23=1 . 双曲线的右焦点为 F2(2，0) . 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 y=k(x−2) ， 设 A(x3，y3)，B(x4，y4) ，因为 MA→⋅MB→=0 ，所以 (x3−m)(x4−m)+y3y4=0 ， 整理得 (1+k2)x3x4−(m+2k2)(x3+x4)+m2+4k2=0   ①， 由 {y=k(x−2)3x2−y2=3 ，可得 (3−k2)x2+4k2x−4k2−3=0 . 因为直线l与双曲线有两个不同的交点， 所以 Δ=16k4+4(3−k2)(4k2+3)=36+36k2>0 ，且 3−k2≠0 ，所以 k≠±3 . 由题设知①对任意的 k≠±3 均成立，又 x3+x4=−4k23−k2，x3x4=−4k2+33−k2 ， 所以①可转化为 −(1+k2)4k2+33−k2+(m+2k2)4k23−k2+m2+4k2=0 ， 整理得 3(m2−1)+(5+4m−m2)k2=0 对任意的 k≠±3 均成立， 故 {m2−1=05+4m−m2=0 ，所以 m=−1，M(−1，0) . 当直线l的斜率不存在时， l：x=2 ， 此时 A(2，3)，B(2，−3) 或 B(2，3)，A(2，−3) ， 则 MA→⋅MB→=(2−m)2−9=0 ，解得 m=−1 . 综上，存在点 M（−1，0） ，使 MA→⋅MB→=0 恒成立.

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