题目

某广场二雕塑造型结构如图所示，最上层是呈水平状态的圆环且圆心为O，其半径为2m，通过金厲杆BC，CA1 ， CA2 ， …，CAn支撑在地面B处（BC垂直于水平面）．A1 ， A2 ， A3 ， …，An是圆环上的n等分点，圆环所在的水平面距地面1Om，设金属杆CA1 ， CA2 ， …，CAn所在直线与圆环所在水平面所成的角都为θ（圓环及金厲杆均不计粗细）（1）当θ为60°且n=3时，求金厲杆BC，CA1 ， CA2 ， CA3的总长？（2）当θ变化，n一定时，为美观与安全起见，要求金属杆BC，CA1 ， CA2 ， …，CAn的总长最短，此时θ的正弦值是多少？并由此说明n越大，C点的位置将会上移还是下移． 答案：【解答】（1）当θ=60°且n=3时（如图），CA1=CA2=CA3=4，OC=23所以BC+CA1+CA2+CA3=12+10﹣23=22﹣23（m）（2）∵金属杆CA1，CA2，…，CAn所在直线与圆环所在水平面所成的角都为θ∴∠CA1O=∠CA2O=∠CA3O=…=∠CAnO=θCA1=CA2=CA3=…=CAn= 2cosθ，CO=2tanθ设金属杆总长为ym，则y=2ncosθ+10﹣2tanθ=2n-sinθcosθ+10（0＜θ＜π2）y′=2nsinθ-1cos2θ，当0＜sinθ＜1n时，y′＜0，当1n＜sinθ＜1时，y′＞0所以当sinθ=1n时，函数有极小值，也是最小值；此时sinθ=1n，n越大，sinθ越小，因为θ是锐角，所以θ也越小，因此C点上移了．

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