题目

已知函数f（x）=ax2+ln（x+1）． （1） 当a=﹣ 时，求函数f（x）的单调区间； （2） 若函数f（x）在区间[1，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围； （3） 当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）﹣x≤0恒成立，求实数a的取值范围． 答案： 解：当 a=-14 时， f(x)=-14x2+ln(x+1)(x≻-1) ， ∴ f′(x)=-12x+1x+1=-(x+2)(x-1)x+1 解f′（x）＞0得﹣1＜x＜1；解f′（x）＜0得x＞1．∴f（x）的单调递增区间是（﹣1，1），单调递减区间是（1，+∞） 解：因为函数f（x）在区间[1，+∞）上为减函数，∴ f′(x)=2ax+1x+1≤0 对∀x∈[1，+∞）恒成立即a≤ -12x(x+1) 对∀x∈[1，+∞）恒成立∴a≤﹣ 14 解：∵当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）﹣x≤0恒成立，即ax2+ln（x+1）﹣x≤0恒成立，设g（x）=ax2+ln（x+1）﹣x（x≥0），只需g（x）max≤0即可由 g′(x)=2ax+1x+1-1=x[2ax+(2a-1)]x+1 ①当a=0时， g′(x)=-xx+1 ，当x＞0时，g′（x）＜0，函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，∴g（x）≤g（0）=0成立②当a＞0时，令g′（x）=0，∵x≥0，∴解得 x=12a-1 1）当 12a-1<0 ，即 a≻12 时，在区间（0，+∞）上g′（x）＞0，则函数g（x）在（0．+∞）上单调递增，∴g（x）在[0，+∞）上无最大值，不合题设．2）当 12a-1≥0 时，即 0≺a≤12 时，在区间 (0，12a-1) 上g′（x）＜0；在区间 (12a-1，+∞) 上g′（x）＞0．∴函数g（x）在区间 (0，12a-1) 上单调递减，在区间 (12a-1，+∞) 上单调递增，同样g（x）在[0，+∞）无最大值，不满足条件．③当a＜0时，由x≥0，故2ax+（2a﹣1）＜0，∴ g′(x)=x[2ax+(2a-1)]x+1 ＜0，∴函数g（x）在[0，+∞）上单调递减，∴g（x）≤g（0）=0成立，综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，0]

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