题目

如图，在正方形ABCD中，E是CD边的中点，AC与BE相交于点F，连结DF. （1） 在不增加点和线的前提下，直接写出图中所有的全等三角形； （2） 连结AE，试判断AE与DF的位置关系，并证明你的结论； （3） 延长DF交BC于点M，试判断BM与MC的数量关系（直接写出结论）. 答案： 解：△ADF≌△ABF，△ADC≌△ABC，△CDF≌△CBF. 解：AE⊥DF. 设AE与DF相交于点H. ∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠DAF=∠BAF. 又∵AF=AF，∴△ADF≌△ABF. ∴∠1=∠2. 又∵AD=BC，∠ADE=∠BCE=90°，DE=CE，∴△ADE≌△BCE. ∴∠3=∠4. ∵∠2+∠4=90°，∴∠1+∠3=90°，∴∠AHD=90°. ∴AE⊥DF. 解：∵∠ADE=90°，AE⊥DF. ∴∠1+∠5=90°，∠3+∠1=90°. ∴∠3=∠5，∵∠3=∠4，∴∠4=∠5. ∵DC=BC，∠DCM=∠BCE=90°，∴△DCM≌△BCE. ∴CE=CM，又∵E为CD中点，且CD=CB，∴CE= CD= BC，∴CM= CB，即M为BC中点，∴BM=MC.

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