题目

已知函数 （a＞0，a≠1）是奇函数． （1） 求实数m的值； （2） 判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并给出证明； （3） 当x∈（n，a﹣2）时，函数f（x）的值域是（1，+∞），求实数a与n的值． 答案： 解：∵函数 f(x)=loga1−mxx−1 （a＞0，a≠1）是奇函数． ∴f（﹣x）+f（x）=0解得m=﹣1． 解：由（1）及题设知： f(x)=logax+1x−1 ， 设 t=x+1x−1=x−1+2x−1=1+2x−1 ，∴当x1＞x2＞1时， t1−t2=2x1−1−2x2−1=2(x2−x1)(x1−1)(x2−1) ∴t1＜t2．当a＞1时，logat1＜logat2，即f（x1）＜f（x2）．∴当a＞1时，f（x）在（1，+∞）上是减函数．同理当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上是增函数． 解：由题设知：函数f（x）的定义域为（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1）， ∴①当n＜a﹣2≤﹣1时，有0＜a＜1．由（1）及（2）题设知：f（x）在为增函数，由其值域为（1，+∞）知 {loga1+nn−1=1a−2=−1 （无解）；②当1≤n＜a﹣2时，有a＞3．由（1）及（2）题设知：f（x）在（n，a﹣2）为减函数，由其值域为（1，+∞）知 {n=1logaa−1a−3=1 得 a=2+3 ，n=1

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