题目

如图1， ， 点E在AB上，点M在CD上，点F在直线AB、CD之间，连接EF、FM，且 ， ． （1） 求的度数； （2） 如图2，延长FM到点G，点H在FG的下方，连接GH、CH，若 ， 求的度数； （3） 如图3，作直线AC，延长EF交CD于点Q，P为线段AC上一动点，求的度数． 答案： 解：过F作FK∥AB，则∠EFK=∠BEF．∵AB∥CD，∴FK∥CD，∴∠MFK=∠DMF．∴∠EFK+∠MFK=∠BEF+∠DMF．即∠EFM=∠BEF+∠DMF．∵EF⊥FM，∴∠EFM=90°．∵∠BEF=60°，∴∠DMF=∠EFM−∠BEF=90°−60°=30°． 解：过H作HN∥CD，则∠MCH=∠CHN．由（1）结果，知∠CMG+∠NHG=∠FGH．∵∠NHG=∠CHN+∠CHG，∠FGH=∠CHG+90°，∠CMG=∠DMF．∴∠CMG+∠CHN+∠CHG=∠CHG+90°．∴∠DMF+∠MCH=90°，∴∠MCH=90°−∠DMF=90°−30°=60°． 解：当P在AB与CD之间时，过P点作PN∥AB，如图3①，由（1）可知，∠AEF=180°-60°=120°，∴∠AEP+∠PEQ=120°，∵AB∥CD，∴AB∥PN∥CD，∴∠AEP=∠EPN，∠NPQ=∠PQC，∴∠EPN=∠EPQ-∠NPQ=∠EPQ-∠PQC，∴∠PEQ+∠EPQ−∠PQC=120°．

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