题目

设函数f（x）=ax﹣（m﹣2）a﹣x   （a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数． （1） 求m的值； （2） 若f（1）＜0，试判断y=f（x）的单调性，并求使不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0恒成立的t的取值范围； （3） 若f（1）= ，g（x）=a2x+a﹣2x﹣2f（x），求g（x）在[1，+∞）上的最小值． 答案： 解：f（x）是定义域为R的奇函数， 可得f（0）=0，即a0﹣（m﹣2）a0=0，即3﹣m=0，可得m=3 解：f（1）＜0，即a﹣a﹣1＜0， 解得0＜a＜1．由ax递减，a﹣x递增，可得f（x）=ax﹣a﹣x在R上递减，不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0，即为不等式f（x2+tx）＜﹣f（4﹣x）=f（x﹣4），即有x2+tx＞x﹣4，即x2+（t﹣1）x+4＞0恒成立，则△=（t﹣1）2﹣16＜0，解得﹣3＜t＜5．即t的取值范围是（﹣3，5） 解：若f（1）= 32 ，即a﹣a﹣1= 32 ， 解得a=2．则g（x）=22x+2﹣2x﹣2（2x﹣2﹣x），令t=2x﹣2﹣x，由x≥1可得t≥ 32 ．则函数y=t2﹣2t+2=（t﹣1）2+1，且在[ 32 ，+∞）递增，可得g（x）在[1，+∞）上的最小值为（ 32 ﹣1）2+1= 54

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