题目

已知直线m，n相交于点B，点A，C分别为直线m，n上的点，AB=BC=1，且∠ABC=60°，点E是直线m上的一个动点，点D是直线n上的一个动点，运动过程中始终满足DE=CE． （1）如图1，当点E运动到线段AB的中点，点D在线段CB的延长线上时，求BD的长． （2）如图2，当点E在线段AB上运动，点D在线段CB的延长线上时，试确定线段BD与AE的数量关系，并说明理由． 答案：【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质． 【分析】（1）证明△ABC为等边三角形，得出∠ACB=∠ABC=60°，由等边三角形的性质得出∠ECB=∠ACB=30°，由等腰三角形的性质得出∠EDB=30°，由三角形的外角性质得出∠DEB=∠EDB，即可得出结论； （2过点E作EF∥BC交AC于点F，由平行线的性质得出∠AFE=∠ACB=60°，证出∠EFC=120°，∠AFE=∠A，得出EF=EA，证出∠DEB=∠ECF，由AAS证明△EDB≌△CEF，得出BD=EF，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵∠ABC=60°，AB=BC， ∴△ABC为等边三角形， ∴∠ACB=60°， ∵点E是线段AB的中点， ∴∠ECB=∠ACB=30°， ∵DE=CE， ∴∠EDB=∠ECB=30°， ∵∠ABC=∠EDB+∠DEB， ∴∠DEB=30°=∠EDB， ∴BD=DE=AB=； （2）BD=AE；理由如下： 过点E作EF∥BC交AC于点F，如图所示： ∵EF∥BC， ∴∠AFE=∠ACB=60°， ∴∠EFC=120°，∠AFE=∠A， ∴EF=EA， ∵∠ABC=60°， ∴∠EBD=120°， ∴∠EFC=∠EBD， ∵CE=DE， ∴∠EDB=∠ECB， ∵∠EDB+∠DEB=∠ECB+∠ECF=60°， ∴∠DEB=∠ECF， 在△EDB和△CEF中，， ∴△EDB≌△CEF（AAS）， ∴BD=EF， ∵EF=EA， ∴BD=AE． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题（2）的关键．

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