题目

在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA=AB=4，∠CDA=120°，点N在线段PB上，且PN= ． （Ⅰ）求证：BD⊥PC；（Ⅱ）求证：MN∥平面PDC． 答案：证明：（I）∵△ABC是正三角形，M是AC中点，∴BM⊥AC，即BD⊥AC．又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD．又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．∴BD⊥PC．（Ⅱ）在正△ABC中，BM=23．在△ACD中，∵M为AC中点，DM⊥AC，∴AD=CD．∠ADC=120°，∴DM=233，∴NMMD=31．在等腰直角△PAB中，PA=AB=4，PB=42，∴BNNP=31，∴BMMD=BNNP，∴MN∥PD．又MN⊄平面PDC，PD⊂平面PDC，∴MN∥平面PDC．

查看本题答案和解析