题目

已知函数 . （1） 若 ，求曲线 在点 处的切线方程； （2） 若 在 处取得极小值，求实数 的取值范围. 答案： 解：当 a=2 时， f(x)=xlnx−x2 ， f'(x)=lnx+1−2x ， f(1)=−1,f'(1)=−1 ，所以曲线 y=f(x) 在点 (1,f(1)) 处的切线方程为 y=−x . 解：由已知得 g(x)=xlnx−a2x2+(a−1)x ，则 g'(x)=lnx−ax+a ， 记 h(x)=g'(x)=lnx−ax+a ，则 h(1)=0,h'(x)=1x−a=1−axx ， ①当 a≤0 ， x∈(0,+∞) 时， h'(x)>0 ，函数 g'(x) 单调递增， 所以当 x∈(0,1) 时， g'(x)<0 ，当 x∈(1,+∞) 时， g'(x)>0 ， 所以 g(x) 在 x=1 处取得极小值，满足题意. ②当 0<a<1 时， x∈(0,1a) 时， h'(x)>0 ，函数 g'(x) 单调递增， 可得当 x∈(0,1) 时， g'(x)<0 ， x∈(1,1a) 时， g'(x)>0 当， 所以 g(x) 在 x=1 处取得极小值，满足题意. ③当 a=1 时，当 x∈(0,1) 时， h'(x)>0 ，函数 g'(x) 单调递增， x∈(1,+∞) 时， h'(x)<0 ， g'(x) 在 (1,+∞) 内单调递减， 所以当 x∈(0,+∞) 时， g'(x)≤0 ， g(x) 单调递减，不合题意. ④当 a>1 时，即 0<1a<1 ，当 x∈(1a,1) 时， h'(x)<0 ， g'(x) 单调递减， g'(x)>0 ，当 x∈(1,+∞) 时， h'(x)<0 ， g'(x) 单调递减， g'(x)<0 ， 所以 g(x) 在 x=1 处取得极大值，不合题意. 综上可知，实数 a 的取值范围为 a<1 .

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