题目

某镇在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展养殖业，以增加收入，政府计划共投入72万元，全部用于甲、乙两个合作社，每个合作社至少要投入15万元，其中甲合作社养鱼，乙合作社养鸡，在对市场进行调研分析发现养鱼的收益M、养鸡的收益N与投入a（单位：万元）满足 ．设甲合作社的投入为x（单位：万元），两个合作社的总收益为f（x）（单位：万元）． （1） 当甲合作社的投入为25万元时，求两个合作社的总收益； （2） 试问如何安排甲、乙两个合作社的投入，才能使总收益最大？ 答案： 当甲合作社投入为25万元时，乙合作社投入为47万元， 此时两个合作社的总收益为： f(25)=425+25+12×47+20=88.5 (万元). 甲合作社的投入为 x 万元 (15≤x≤57) ，则乙合作社的投人为 72−x 万元， 当 15≤x≤36 ，则 36⩽72−x⩽57 ， f(x)=4x+25+12×(72−x)+20=−12x+4x+81 ， 令 t=x ，得 15≤t≤6 ， 则总收益为 g(t)=−12t2+4t+81=−12(t−4)2+89 ， 显然当 t=4 时， g(t)max=89=f(16) ， 即此时甲投入 16 万元，乙投入 56 万元时，总收益最大，最大收益为 89 万元. 当 36<x≤57 时，则 15≤72−x≤36 ， f(x)=49+12(72−x)+20=−12x+105 ， 显然 f(x) 在 (36，57] 上单调递减，所以 f(x)<f(36)=87 ， 即此时甲、乙总收益小于87万元. ∵89>87 ， 该公司在甲合作社投人16万元，在乙合作社投人56万元，总收益最大，最大总收益为89万元.

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