题目

如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，DB=DC=EC，∠A=2∠ADB，AD=m，AB=n． （1） 在图1中找出与∠ABD相等的角，并加以证明； （2） 求BE的长； （3） 将△ABD沿BD翻折，得到△A′BD．若点A′恰好落在EC上（如图2），求 的值． 答案： 解：∠BCE=∠ABD，理由如下：∵AD∥BC，∴∠DBC=∠ADB，∵DB=DC，∴∠DCB=∠DBC=∠ADB，∵DC=EC，∴∠CDE=∠CED=∠DBC+∠BCE=∠ADB+∠BCE，∵∠DBC+∠DCB+∠CDB=180°，即∠ADB+∠ADB+（∠ADB+∠BCE）=3∠ADB+∠BCE=180°，又∵∠A+∠ABD+∠ADB=180°，∠A=2∠ADB，∴3∠ADB+∠ABD=180°，∴∠BCE=∠ABD 解：在BC上取一点F，使CF=AB=n，连接EF，如图1所示：由（1）知：∠ABD=∠FCE，在△ABD和△FCE中， {AB=CF∠ABD=∠FCEDB=EC ，∴△ABD≌△FCE（SAS），∴∠EFC=∠DAB=2∠ADB，∠FEC=∠ADB，EF=AD=m，∴∠BEF=∠EFC﹣∠EBC=2∠ADB﹣∠ADB=∠ADB=∠EBF，∴BF=EF=m，BC=BF+FC=m+n，∵∠EBC=∠ADB，∠BCE=∠DBA，∴△EBC∽△ADB，∴ BCDB = ECAB = BEDA ，即： m+nDB = DBn = BEm ，∴DB= n(m+n) ，∴BE= mn(m+n)n ； 解：∵将△ABD沿BD翻折，得到△A′BD，点A′恰好落在EC上，∴A′B=AB=n，∠A′BE=∠ABE，由（1）知：∠ABE=∠BCE，∴∠A′BE=∠BCE，∵∠A′EB=∠BEC，∴△A′EB∽△BEC，∴ A'BBC = BECE = BEDB ，即： nm+n = mn(m+n)nn(m+n) ，整理得：m2+mn﹣n2=0，即（ mn ）2+ mn ﹣1=0，解得： mn = −1±52 （负值舍去），∴ mn = 5−12 ．

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