题目

在△ABC中，已知内角A ， B ， C对应的三条边长分别是a ， b ， c ， 若 请在下列条件：① ；② ；③ 中任意选择一个，添加到题目的条件中，求△ABC的面积. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分. 答案：解：若选择①， 因为 (a+b+c)(sinA+sinB−sinC)=3asinB ， 所以利用正弦定理化简得： (a+b+c)(a+b−c)=3ab ， 整理得： a2+2ab+b2−c2=3ab ，即 a2+b2−c22ab=12 ， 所以 cosC=12 ， 则 C=π3 ． 又因为 bcosC+ccosB=4 ， B=π4 ，可得 b+2c=8 ， 由正弦定理可得 b22=c32 ，即 b=63c ， 可得 63c+2c=8 ，解得 c=62−26 ， b=43−4 ， 所以 A=π−B−C=5π12 ，可得 SΔABC=12bcsinA=12×(62−26)×(43−4)×2+64=12−43 ． 若选择②， 由于 bcosC+ccosB=b·a2+b2−c22ab+c·a2+c2−b22ac=4 ， 所以整理可得 a=4 ， 又由于 b=42 ， B=π4 ， 所以由余弦定理 b2=a2+c2−2accosB ，可得 32=16+c2−2×4×c×22 ，整理可得： c2−42c−16=0 ，解得 c=22+2 3 ，（负值舍去）， 所以 SΔABC=12acsinB=12×4×(22+2 3)×22=4+26 ． 若选择③， 由于 3csinB=bcosC ， 可得 3sinCsinB=sinBcosC ， 由于 sinB≠0 ， 可得 3sinC=cosC ，即 tanC=33 ，由 C∈(0，π) ，可得 C=π6 ， 又 bcosC+ccosB=4 ， B=π4 ， 所以可得： 32b+22c=4 ， 由正弦定理可得 b22=c12 ，即 b=2c ， 可得 62c+22c=4 ，解得 c=26−22 ， b=43−4 ， 所以 A=π−B−C=7π12 ，可得 SΔABC=12bcsinA=12×(43−4)×(26−22)×2+64=43−4 ．

查看本题答案和解析