题目

二次函数 的图象过原点，对 ，恒有 成立，设数列 满足  . （1） 求证：对 ，恒有 成立； （2） 求函数 的表达式； （3） 设数列 前 项和为 ，求 的值. 答案： 解： x2+6x+2−(−2x2−1)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0 （仅当 x=−1 时，取“=”）所以恒有： −2x2−1≤x2+6x+2 成立 解：由已知条件可设 f(x)=ax2+bx ，则 −2x2−1≤f(x)≤x2+6x+2 中，令 x=−1 ，从而可得： −3≤f(−1)≤−3 ，所以 f(−1)=−3 ，即 b=a+3 ，又因为 −2x2−1≤f(x)=ax2+(a+3)x 恒成立，即 (a+2)x2+(a+3)x+2≥0 恒成立，当 a+2=0 时， x+1≥0 ，不合题意舍去，当 {a+2>0Δ≤0  时，即 {a>−2(a+1)2≤0 ⇒a=−1 ，所以 b=2 ，所以 f(x)=−x2+2x 解： anan+1=f(an)=−an2+2an(an≠0)⇒an+1=−an+2⇒an+1+an=2 ，所以 S2018=(a1+a2)+(a3+a4)+⋯+(a2017+a2018)=2+2+⋯+2=2018 ，即 S2018=2018 .

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