题目

已知函数 的定义域为 ,且对一切 , 都有 ,当 时, . （1） 判断 的单调性并加以证明; （2） 若 ,解不等式 . 答案： 解： f(x) 在 (0,+∞) 上为增函数, 证明如下:任取 x1 , x2∈(0,+∞) 且 x1<x2 , 则 f(x2)−f(x1)=f(x1⋅x2x1)−f(x1)=f(x1)+f(x2x1)−f(x1)=f(x2x1) . 又因为当 x>1 时, f(x)>0 ,而 x2x1>1 , 所以 f(x2)−f(x1)=f(x2x1)>0 ,所以 f(x2)>f(x1) , 所以 f(x) 在 (0,+∞) 上为增函数. 解：由定义域可得 {x>02x−1>0 ,解得 x>12 , 由已知可得 f(4)=f(2)+f(2)=2 , 所以 f(2)=1 , f(2x−1)+1=f(2x−1)+f(2)=f(4x−2) , 所求不等式可转化为 f(x)>f(4x−2) . 由单调性可得 x>4x−2 ,解得 x<23 , 综上,不等式解集为 {x|12<x<23} .

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