题目

如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），以AB为直径的⊙M与y轴的正半轴交于点C．点P是劣弧BC上的一动点． （1） 求sin∠ABC的值． （2） 当△PCB中有一边是BP的两倍时，求相应AP的长． （3） 如图2，以BC为边向上作等边△CBD，线段MD分别交BC和于点H，N．连结DP，HP．点P在运动过程中，DP与HP存在一定的数量关系．【探究】当点P与点N重合时，求的值；【探究二】猜想：当点P与点N不重合时，【探究】的结论是否仍然成立．若成立，给出证明：若不成立，请说明理由． 答案： 解：如图所示，∵A（-1，0），B（3，0）∴AB=3-（-1）=4，圆M的半径为2，∵AB为直径，C在圆M上∴∠ACB=90°又∠BOC=90°∴∠ACO+∠CAO=90°，∠CAO+∠CBO=90°∴∠ACO=∠CBO∴△AOC∽△COB∴OCOB=AOOC，即OC3=1OC解得：OC=3在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC=2∴sin∠ABC=ACAB=12． 解：分两种情况讨论①当BC=2PB时，由（1）知，BC=AB2−AC2=23，∴PB=3∵AB为直径∴∠APB=90°∴AP=AB2−BP2=42−(3)2=13．②当PC=2PB时，如图所示，过B作BH⊥CP于H由sin∠ABC=12得，∠ABC=30°，∴∠CAO=60°∵A、C、P、B四点共圆，∴∠CPB=180°－∠CAO=120°∴∠BPH=60°，∴∠PBH=30°设PH=x，则BP=2x，CP=4x，BH=3x，在Rt△BCH中，由勾股定理得：BC2=CH2+BH2即(23)2=(5x)2+(3x)2解得：x=217∴AP=AB2−BP2=42−(2217)2=1077．综上所述，△PCB中有一边是BP的两倍时，AP的长度为13或1077． 解：当点P与点N重合时，HPDP的值为12，理由如下：连接CM，BP，∵△BCD为等边三角形，∴BD=CD=BC，∠DBC=∠DCB=∠CDB=60°，∵CM=BM，CD=BD，∴DM是CB的垂直平分线，∴DM⊥BC，∴H是BC中点，HM∥AC，∴∠PMB=60°，即△BMP是等边三角形，∴H是PM中点，∴AH=PH=1，DH=3BH=3，∴PD=2故HPDP=12．【探究二】HPDP=12仍然成立，理由如下：如图，连接MP，由【探究】知，HM=1，MP=2，DM=4，∴HMMP=12，PMDM=12，又∠HMP=∠DMP，∴△HMP∽△PMD，∴PHPD=HMPM=12，即HPDP=12仍然成立．

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