题目

设函数 ， . （1） 讨论函数的单调性； （2） 如果对于任意的 ， 都有成立，试求的取值范围. 答案： 解：函数f(x)的定义域为(0，+∞)，f′(x)=−2ax3+1x=x2−2ax3，当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在区间(0，+∞)上单调递增；当a>0时，若x>2a，则f′(x)>0，函数f(x)单调递增；若0<x<2a，则f′(x)<0，函数f(x)单调递减；∴函数f(x)在区间(0，2a)上单调递减，在区间(2a，+∞)上单调递增，综上得：当a≤0时，函数f(x)在区间(0，+∞)上单调递增；当a>0时，函数f(x)在区间(0，2a)上单调递减，在区间(2a，+∞)上单调递增. 解：∵g′(x)=3x2−4x=3x(x−43)，x∈[12，2]，∴当x∈[12，43]时，g′(x)≤0，g(x)在区间x∈[12，43]单调递减，当x∈[43，2]时，g′(x)≥0，g(x)在区间x∈[43，2]单调递增，而g(12)=58<g(2)=1，所以g(x)在区间[12，2]上的最大值是1.依题意，需要有当x∈[12，2]时，xf(x)≥1恒成立，即ax+xlnx≥1恒成立，亦即a≥x−x2lnx；令h(x)=x−x2lnx(x∈[12，2])，则h′(x)=1−x−2xlnx，显然h′(1)=0，当x∈[12，1)时，1−x>0，xlnx<0，h′(x)>0，即h(x)在区间[12，1)上单调递增；当x∈(1，2]时，1−x<0，xlnx>0，h′(x)<0，即h(x)在区间(1，2]上单调递减；所以，当x=1时，函数h(x)取得最大值h(1)=1，故a≥1，即实数a的取值范围是[1，+∞).

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