题目

在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1，格点三角形ABC（顶点是网格线交点的三角形）的三个顶点的坐标分别为 ， ， （1） 请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系，并将画出来． （2） 在图中找一点D，使 ， ， 并将点D标记出来． （3） 在x轴上找一点P，使的值最小，请直接写出点P的坐标． （4） 在y轴上是否存在点Q，使得 ， 如果存在，求出点Q的坐标，如果不存在，说明理由． 答案： 解：如下图所示，建立平面直角坐标系，将点A，点B，点C依次标在平面直角坐标系中，再依次连接即可． 解：∵26=12+52，13=22+32，∴26相当于两个直角边分别为1和5的直角三角形的斜边长，13相当于两个直角边分别为2和3的直角三角形的斜边长．∴如（1）中图所示，以点A为圆心，以26为半径画圆，以点B为圆心，以13为半径画圆，两圆交点D1或D2即为点D的位置． 解：如（1）中图所示，作出点A关于x轴的对称点点A，连接AB，其与x轴的交点即为点P．∵A(1，1)，∴A(1，−1)．设直线AB的的解析式为y=kx+b．根据点A(1，−1)和点B(4，2)可得{−1=k+b，2=4k+b．解得{k=1，b=−2．∴直线AB的的解析式为y=x−2．∵点P在x轴上，∴yP=0．∴0=xP−2．∴xP=2．∴P(2，0)． 解：如（1）中图所示，在平面直角坐标系中标出点E，点F，点G．∴EF=EA=AG=3，EC=2，CF=1，FB=2，BG=1．∴S正方形AEFG=EF⋅EA=9，S△ACE=12EA⋅EC=3，S△BCF=12CF⋅FB=1，S△ABG=12AG⋅BG=1.5．∴S△ABC=S正方形AEFG−S△ACE−S△BCF−S△ABG=72．∵S△AOQ=12S△ABC，∴S△AOQ=74．∵点Q在y轴上，∴设点Q的坐标为(0，m)．∴OQ=|m−0|=|m|．∵S△AOQ=12OQ⋅|xA|，∴74=12×|m|×|1|．∴m1=72，m2=−72．∴Q(0，72)或Q(0，−72)．

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