题目

已知f(x)＝ax－lnx，x∈(0，e]，g(x)＝，其中e是自然常数，a∈R. (1)讨论当a＝1时，函数f(x)的单调性和极值； (2)求证：在(1)的条件下，f(x)>g(x)＋； (3)是否存在实数a，使f(x)的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 答案：解　(1)∵f(x)＝x－lnx，f′(x)＝1－＝， ∴当0<x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当1<x<e时，f′(x)>0，f(x)单调递增． ∴f(x)的极小值为f(1)＝1. (2)证明：∵f(x)的极小值为1，即f(x)在(0，e]上的最小值为 1，∴f(x)min＝1. 又∵g′(x)＝， ∴0<x<e时，g′(x)>0，g(x)在(0，e]上单调递增． ∴g(x)max＝g(e)＝<. ∴f(x)min－g(x)max>. ∴在(1)的条件下，f(x)>g(x)＋. (3)假设存在实数a，使f(x)＝ax－lnx(x∈(0，e])有最小值3，则f′(x)＝a－＝. ①当a≤0时，f(x)在(0，e]上单调递减，f(x)min＝f(e)＝ae－1＝3，a＝(舍去)，所以，此时f(x)的最小值不是3； ③当≥e，即0<a≤时，f(x)在(0，e]上单调递减， f(x)min＝f(e)＝ae－1＝3，a＝(舍去)．所以，此时f(x)的最小值不是3. 综上，存在实数a＝e2，使得当x∈(0，e]时，f(x)有最小值3.

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