题目

如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的象经过A（﹣1，0）、B（3，0）、N（2，3）三点，且与y轴交于点C． （1） 求这个二次函数的解析式，并写出顶点M及点C的坐标； （2） 若直线y=kx+d经过C、M两点，且与x轴交于点D，试证明四边形CDAN是平行四边形； （3） 点P是这个二次函数的对称轴上一动点，请探索：是否存在这样的点P，使以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 答案： 解：因为二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、N（2，3）所以，可建立方程组： {0=a−b+c0=9a+3b+c3=4a+2b+c ，解得： {a=−1b=2c=3所以，所求二次函数的解析式为y=﹣x2+2x+3，所以，顶点M（1，4），点C（0，3） 解：直线y=kx+d经过C、M两点，所以 {d=3k+d=4 ，即k=1，d=3，直线解析式为y=x+3．令y=0，得x=﹣3，故D（﹣3，0）∴CD= 32 ，AN= 32 ，AD=2，CN=2∴CD=AN，AD=CN（2分）∴四边形CDAN是平行四边形 解：假设存在这样的点P，使以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，因为这个二次函数的对称轴是直线x=1，故可设P（1，y0），则PA是圆的半径且PA2=y02+22，过P做直线CD的垂线，垂足为Q，则PQ=PA时以P为圆心的圆与直线CD相切．由第（2）小题易得：△MDE为等腰直角三角形，故△PQM也是等腰直角三角形，由P（1，y0）得PE=y0，PM=|4﹣y0|， PQ=PM2=|4−y0|2 ，由PQ2=PA2得方程： (4−y0)22=y02+22 ，解得 y0=−4±26 ，符合题意，所以，满足题意的点P存在，其坐标为（1， −4+26 ）或（1， −4−26 ）

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