题目

已知正项等差数列 的前 项和为 ，若 ，且 成等比数列. （1） 求 的通项公式； （2） 设 ，记数列 的前 项和为 ，求 答案： 设公差为d，则∵S3=12，即a1+a2+a3=12，∴3a2=12，∴a2=4， 又∵2a1，a2，a3+1成等比数列，∴a22=2（a2-d）（a2+d+1），解得d=3或d=-4（舍去）， ∴an=a2+（n-2）d=3n-2 bn=an3n=3n−23n ，∴ Tn=1×13+4×132+7×133+⋯+(3n−2)×13n ① ①× 13 得 13Tn=1×132+4×133+7×134+⋯+(3n−5)×13n+(3n−2)×13n+1   ② ①-②得 23Tn=13+3×132+3×133+⋯+3×13n−(3n−2)×13n+1       =13+3×132×(1−13n−1)1−13−(3n−2)×13n+1=56−12×13n−1−(3n−2)×13n+1  ， ∴ Tn=54−14×13n−2−3n−22×13n=54−6n+54×13n ．

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