题目

已知数列 满足 . （1） 求数列 的通项公式； （2） 求数列 的前 项和 . 答案： 解：当 n=1 时， 2a1=4 ，解得 a1=2 ； 当 n≥2 时， 2a1+7a2+12a3+⋅⋅⋅+(5n−3)an=4n ， 2a1+7a2+12a3+⋅⋅⋅+(5n−8)an−1=4(n−1) ， 两式相减可得， (5n−3)an=4 ， 解得 an=45n−3 ，易知 a1=2 也符合上式， 综上所述， an=45n−3 ，. 解：依题意： 3nan=(5n−3)⋅3n4 ， 下面先求数列 {(5n−3)⋅3n} 的前 n 项和 Tn ； Tn=2⋅31+7⋅32+12⋅33+⋅⋅⋅+(5n−3)⋅3n ， 3Tn=2⋅32+7⋅33+12⋅34+⋅⋅⋅+(5n−3)⋅3n+1 ， 两式相减可得， −2Tn=2⋅31+5⋅32+⋅⋅⋅+5⋅3n−(5n−3)⋅3n+1 ， 即 −2Tn=5⋅31+5⋅32+⋅⋅⋅+5⋅3n−(5n−3)⋅3n+1−9 所以 −2Tn=15⋅1−3n1−3−(5n−3)⋅3n+1−9 ， 化简可得， Tn=334+(5n2−114)⋅3n+1 ， 故 Sn=Tn4=3316+(5n8−1116)⋅3n+1 .

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