题目

如图1，正方形ABCD与正方形AEFG的边AB，AE（AB＜AE）在一条直线上，正方形AEFG以点A为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为α．在旋转过程中，两个正方形只有点A重合，其它顶点均不重合，连接BE，DG． （1） 当正方形AEFG旋转至如图2所示的位置时，求证：BE=DG； （2） 如图3，如果α=45°，AB=2，AE=3 ．①求BE的长；②求点A到BE的距离； （3） 当点C落在直线BE上时，连接FC，直接写出∠FCD的度数． 答案： 解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAE+∠EAD=90°，又∵四边形AEFG是正方形，∴AE=AG，∠EAD+∠DAG=90°，∴∠BAE=∠DAG．在△ABE与△ADG中，∵ {AE=AG∠BAE=∠DAG=αAB=AD ，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴BE=DG 解：①如图1，作BN⊥AE于点N，∵∠BAN=45°，AB=2，∴AN=BN= 2 ．在△BEN中，∵BN= 2 ，NE=3 3 ﹣ 2 ，∴BE= 31-66；②如图1，作AM⊥BE于点M，则S△ABE= 12 AE•BN= 12 ×3 3 × 2 = 362 ．又∵S△ABE= 12 BE•AM= 12 × 10 ×AM= 362 ，∴AM= 644-9631-66，即点A到BE的距离为644-9631-66 解：解：①如图2，连接AC，AF，CF，∵四边形ABCD与AEFG是正方形，∴∠ACD=∠AFE=45°，∵∠DCE=90°∴点A，C，E，F四点共圆，∵∠AEF是直角，∴AF是直径，∴∠ACF=90°，∵∠ACD=45°，∴∠FCD=45°②如图3，连接AC，AF，FG，CG由（1）知∵△ABE≌△ADG，∴∠ABE=∠ADG=90°，∴DG和CG在同一条直线上，∴∠AGD=∠AGC=∠BAG，∵四边形ABCD与AEFG是正方形，∴∠BAC=∠FAG=45°，∴∠BAG+∠GAC=45°，∠BAG+∠BAF=45°，∴∠AGD+∠GAC=45°，∴∠BAG+∠BAF+∠AGD+∠GAC+∠AGF=180°，∴点A，C，G，F四点共圆，∵∠AGF是直角，∴AF是直径，∴∠ACF=90°，∴∠FCD=90°+45°=135°综上所述，∠FCD的度数为45°或135°．

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