题目

    已知抛物线：．点F(1，1)．     (Ⅰ) 求抛物线的顶点坐标；     (Ⅱ) ①若抛物线与y轴的交点为A．连接AF，并延长交抛物线于点B，求证：     ②抛物线上任意一点P（）)（）．连接PF．并延长交抛物线于点Q（），试判断是否成立？请说明理由；     (Ⅲ) 将抛物线作适当的平移．得抛物线：，若时．恒成立，求m的最大值． 答案：解 (I)∵， ∴抛物线的顶点坐标为()． (II)①根据题意，可得点A(0，1)， ∵F(1，1)． ∴AB∥x轴．得AF=BF=1， ②成立． 理由如下： 如图，过点P（）作PM⊥AB于点M，则FM=，PM=（） ∴Rt△PMF中，有勾股定理，得 又点P（）在抛物线上， 得，即 ∴ 即． 过点Q（）作QN⊥B，与AB的延长线交于点N， 同理可得． 图文∠PMF=∠QNF=90°，∠MFP=∠NFQ， ∴△PMF∽△QNF 有 这里， ∴ 即   (Ⅲ) 令， 设其图象与抛物线交点的横坐标为，，且<， ∵抛物线可以看作是抛物线左右平移得到的， 观察图象．随着抛物线向右不断平移，，的值不断增大， ∴当满足，．恒成立时，m的最大值在处取得。 可得当时．所对应的即为m的最大值． 于是，将带入， 有 解得或（舍） ∴ 此时，，得 解得， ∴m的最大值为8.

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