题目

如图1，等腰△ABC内接于⊙O，AC＝BC，CD⊥AB于点D，F为弧AB上的一个动点，连接CF交AB于点G，P为射线AB上的一个动点，连接PF，AF． （1） 求证：CF•CG＝CA2； （2） 如图1，若PG＝PF，求证：PF为⊙O的切线； （3） 在（2）的条件下，如图2，连接PC，若∠FAP＝∠PCB，AB＝CD＝4，求的值． 答案： 证明：∵AC＝BC， ∴AC⌢=BC⌢， ∴∠CAG＝∠CFA， ∵∠ACG＝∠FCA， ∴△CAG∽△CFA， ∴CACF=CGCA， ∴CA2＝CF•CG； 证明：如图1，连接OF， ∵OC＝OF， ∴∠OCF＝∠OFC； ∵CD⊥AB， ∴∠CDG＝90°， ∴∠OCF+∠CGD＝90°， ∴∠OFC+∠CGD＝90°， ∵∠CGD＝∠PGF， ∴∠OFC+∠PGF＝90°， ∵PG＝PF， ∴∠PGF＝∠PFG， ∴∠PFG+∠OFC＝90°， ∴OF⊥PF， 又OF为半径， ∴PF为为⊙O的切线； 解：如图2，过点B作BM⊥PC于M，BN⊥FC于N， ∵∠PCB＝∠FAP＝∠FCB， ∴BC平分∠PCF， ∴BM＝BN， ∴S∆CBGS∆CBP=12CG⋅AD12BP⋅AD＝CGCP， ∵S∆CBGS∆CBP=12BG⋅AD12BP⋅AD＝BGBP， ∴CGCP=BGBP， ∵CD⊥AB， ∴BD＝AD＝12AB＝2， 设BG＝x，BP＝y， 则DG＝BD﹣BG＝2﹣x，DP＝BD+BP＝2+y， 根据勾股定理得，CG2＝CD2+DG2＝42+（2﹣x）2＝x2﹣4x+20，CP2＝CD2+DP2＝42+（2+y）2＝y2+4y+20， ∴CG2CP2=BG2BP2， ∴x2y2=x2−4x+20y2+4y+20， ∴y2+4y+20y2=x2−4x+20x2， ∴4y+20y2=−4x+20x2， ∴xy＝5（y﹣x）， ∴y−xxy=15， ∴1x−1y=15， ∴1BG−1BP=15．

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