题目

如图所示，BC是圆O的直径，点A，F在圆O上，连接AB，BF． （1） 如图1，若点A、F把半圆三等分，连接OA，OA与BF交于点E．求证：E为OA的中点； （2） 如图2，若点A为弧 的中点，过点A作AD⊥BC，垂足为点D，AD与BF交于点G．求证：AG=BG． 答案： 证明：∵A、F为半圆三等分点， ∴∠AOB= 13 ×180°=60°，∵OA=OB，∴△OAB为等边三角形．∵A为弧BF中点，∴OA⊥BF，∴BE平分OA，∴E为OA中点 证明：连接AF，AC， ∵A为弧BF中点，∴ AB^ = AF^ ，∴∠ABF=∠F．∵ AB^ = AB^ ，∴∠C=∠F，∴∠C=∠ABF．∵BC为圆O的直径，∴∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAD=90°．∵AD⊥BC，∴∠C+∠CAD=90°，∴∠ABG=∠BAG，∴AG=BG．

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