题目

如图1，抛物线C1：y=x2+ax与C2：y=﹣x2+bx相交于点O、C，C1与C2分别交x轴于点B，A，且B为线段AO的中点． （1） 求 的值； （2） 若OC⊥AC，求△OAC的面积； （3） 抛物线C2的对称轴为l，顶点为M，在（2）的条件下：①点P为抛物线C2对称轴l上一动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；②如图2，点E在抛物线C2上点O与点M之间运动，四边形OBCE的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值和点E的坐标；若不存在，请说明理由． 答案： 解：在y=x2+ax中，当y=0时，x2+ax=0，x1=0，x2=﹣a，∴B（﹣a，0），在y=﹣x2+bx中，当y=0时，﹣x2+bx=0，x1=0，x2=b，∴A（0，b），∵B为OA的中点，∴b=﹣2a，∴ ab=−12 解：联立两抛物线解析式可得 {y=x2+axy=−x2−2ax ，消去y整理可得2x2+3ax=0，解得x1=0， x2=−32a ，当 x=−32a 时， y=34a2 ，∴ C(−32a，34a2) ，过C作CD⊥x轴于点D，如图1，∴ D(−32a，0) ，∵∠OCA=90°，∴△OCD∽△CAD，∴ CDAD=ODCD ，∴CD2=AD•OD，即 (34a2)2=−12a⋅(−32a) ，∴a1=0（舍去）， a2=233 （舍去）， a3=−233 ，∴ OA=−2a=433 ， CD=34a2=1 ，∴ S△OAC=12OA⋅CD=233 ； 解：①抛物线 C2：y=−x2+433x ，∴其对称轴 l2：x=233 ，点A关于l2的对称点为O（0，0）， C(3，1) ，则P为直线OC与l2的交点，设OC的解析式为y=kx，∴ 1=3k ，得 k=33 ，∴OC的解析式为 y=33x ，当 x=233 时， y=23 ，∴ P(233，23) ；②设 E(m，−m2+433)，(0≤m≤233) ，则 S△OBE=12×233⋅(−m2+433)=−33m2+43m ，而 B(233，0) ， C(3，1) ，设直线BC的解析式为y=kx+b，由 {1=3k+b0=233k+b ，解得 k=3，b=−2 ，∴直线BC的解析式为 y=3x−2 ，过点E作x轴的平行线交直线BC于点N，如图2，则 −m2+433m=3x−2 ，即x= −33m2+43m+233 ，∴EN= −33m2+43m+233−m=−33m2+13m+233 ，∴ S△EBC=12⋅1⋅(−33m2+13m+233)=−36m2+16m+33∴S四边形OBCE=S△OBE+S△EBC= (−33m2+43m)+(−36m2+16m+33) = −32m2+32m+33=−32(m−32)2+17324 ，∵ 0≤m≤233 ，∴当 m=32 时， S最大=17324 ，当 m=32 时， y=−(32)2+433⋅32=54 ，∴ E(32，54) ， S最大=17324

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