题目

如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E． （1） 当BC=1时，求线段OD的长； （2） 在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由； （3） 设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域． 答案： 解：∵点O是圆心，OD⊥BC，BC=1，∴BD= 12 BC= 12 ． 又∵OB=2，∴ OD=OB2−BD2=22−(12)2=152 解：存在，DE是不变的． 如图，连接AB，则 AB=OB2+OA2=22 ． ∵D和E是中点，∴DE= 12AB=2 解：∵BD=x，∴ OD=4−x2 ． ∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠AOB=900． ∴∠2+∠3=45°． 过D作DF⊥OE，垂足为点F．∴DF=OF= 4−x22 ． 由△BOD∽△EDF，得 BDEF=ODDF ，即 xEF=4−x24−x22 ，解得EF= 12 x． ∴OE= x+4−x22 ． ∴ y=12DF⋅OE=12⋅4−x22⋅x+4−x22=4−x2+x4−x24（0<x<2）

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