题目

如图，四棱锥A-BCDE的底面为等腰梯形， ， 且 ， ， 平面平面ACB. （1） 证明：. （2） 若 ， 求二面角C-AD-E的大小. 答案： 证明：因为平面ACD⊥平面ACB，且平面ACD∩平面ACB=AC，AB⊥AC，AB⊂平面ACB，所以AB⊥平面ACD.又因为CD⊂平面ACD，所以CD⊥AB. 解：分别以AC，AB 为x，y轴，过点A作平面ABC的垂线为z轴，如图，建立空间直角坐标系，连接BD.由已知条件，易得A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，3，0).在△BCD中，由余弦定理可得BD2=12+4−2×22×2×22=52，所以AD=BD2−AB2=62.在△ACD中，由余弦定理得cos∠DAC=32+3−122×62×3=223，所以D(0，233，66).因为DE→=12CB→ ，所以DE→=12CB→=(12，−32，0) ，AD→ =(0，233，66)，设n→ =(x，y，z)为平面ADE的法向量，由{n⇀⋅AD⇀=0n⇀⋅DE⇀=0 ，得{233y+66z=012x−32y=0，取y=1，则n→=(3，1，−22).又平面ACD的一个法向量为AB→=(1，0，0).所以cos〈n→，AB→〉=n→⋅AB→|n→||AB→| =323=12.又面角C-AD-E为钝角，所以二面角C-AD-E为2π3.

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