题目

如图，点O为矩形ABCD对角线交点，AB＝10cm，BC＝12cm，点E、F、G分别从D，C，B三点同时出发，沿矩形的边DC、CB、BA匀速运动，点E的运动速度为2cm/s，点F的运动速度为6cm/s，点G的运动速度为3cm/s，当点F到达点B（点F与点B重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EFC关于直线EF的对称图形是△EFC′．设点E、F、G运动的时间为t（单位：s） （1） 当t＝s时，四边形ECFC′为正方形； （2） 若以点E、C、F为顶点的三角形与以点F、B、G为顶点的三角形相似，求t的值； （3） 是否存在实数t，使得点C′与点O重合？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 答案： 【1】1.25 解：分两种情况，讨论如下： ①若△ECF∽△FBG， 则有 CEBF=CFBG ，即 10−2t12−6t=6t3t ， 解得：t＝1.4； ②若△ECF∽△GBF， 则有 CEBG=CFBF ，即 10−2t3t=6t12−6t ， 解得：t＝﹣7﹣ 69 （不合题意，舍去）或t＝﹣7+ 69 ． ∴当t＝1.4s或t＝（﹣7+ 69 ）s时，以点E、C、F为顶点的三角形与以点F，B，G为顶点的三角形相似 解：假设存在实数t，使得点C′与点O重合． 如图1，过点O作OM⊥BC于点M，则在Rt△OFM中，OF＝BF＝6t，FM＝ 12 BC﹣CF＝6﹣6t，OM＝5， 由勾股定理得：OM2+FM2＝OF2， 即：52+（6﹣6t）2＝（6t）2 解得：t＝ 6172 ； 过点O作ON⊥CD于点N，则在Rt△OEN中，OE＝CE＝10﹣2t，EN＝CE﹣CN＝10﹣2t﹣5＝5﹣2t，ON＝6， 由勾股定理得：ON2+EN2＝OE2， 即：62+（5﹣2t）2＝（10﹣2t）2 解得：t＝1.85． ∵ 6172 ≠1.85， ∴不存在实数t，使得点C′与点O重合

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