题目

在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AC=6，点D、E在AB边上，AD=CD，点E关于AC、CD的对称点分别为F、G，则线段FG的最小值等于（　　） A．2    B．3    C．4    D．5 　 答案：B【考点】轴对称的性质；含30度角的直角三角形． 【分析】根据轴对称的性质得出CE=CF，∠CEF=∠CFE，CE=CG，EH=GH，∠CEF=∠CGH，进而得出CE=CG=CF，∠CGH=∠CFE，然后证得△BCD是等边三角形，从而证得∠FHG=60°，进一步证得∠FCG=∠FHG=60°，证得△CFG是等边三角形，得出FG=CF=CE，因为CE的最小值为3，所以FG的最小值为3． 【解答】】解：∵点E和F关于AC对称， ∴AC垂直平分EF， ∴CE=CF，∠CEF=∠CFE， ∵点E和G关于CD对称， ∴CD垂直平分FG， ∴CE=CG，EH=GH，∠CEF=∠CGH， ∴CE=CG=CF，∠CGH=∠CFE， ∵∠ACB=90°，∠B=60°， ∴∠A=30°， ∵AD=CD， ∴∠ACD=∠A=30°， ∴∠BCD=60°， ∴△BCD是等边三角形， ∵EF∥BC， ∴∠DEH=∠B=60°，∠EHD=∠BCD=60°， ∴∠DHG=∠EHD=60°， ∴∠FHG=60° ∵∠CGH=∠CFE，∠CKF=∠HKG， ∴∠FCG=∠FHG=60°， ∵CF=CG， ∴△CFG是等边三角形， ∴FG=CF=CE， ∵当CE⊥AB时，CE最短，此时CE=AC=3， ∴FG的最小值为3， 故选B． 【点评】本题考查了轴对称的性质和等边三角形的判定和性质，证得△CFG是等边三角形是解题的关键．

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