题目

已知函数 ， . （1） 求 的值； （2） 用定义证明函数 在 上为增函数； （3） 若 ，求实数 的取值范围. 答案： 解：因为 f(1)=11+4=15 ， 所以 f(f(1))=f(15)=15(15)2+4=5101 . 解：任取 x1,x2∈(−2,2) ，且 x1<x2 ， 则 f(x1)−f(x2)=x1x12+4−x2x22+4=(x2−x1)(x1x2−4)(x12+4)(x22+4) 因为 −2<x1<x2<2 ，所以 x2−x1>0 ， x1x2−4<0 ， 所以 f(x1)−f(x2)<0 ，即 f(x1)<f(x2) ， 所以函数 f(x) 在 (−2,2) 上为增函数. 解：由（2）知 f(x) 在 (−2,2) 上为增函数. 又 f(a+2)>f(2a−1) ，所以 {−2<a+2<2,−2<2a−1<2,a+2>2a−1, 解得 {−4<a<0,−12<a<32,a<3, 即 −12<a<0 ， 所以实数 a 的取值范围是 (−12,0) .

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