题目

已知函数f（x）=2alnx+（a+1）x2+1．（Ⅰ）当 时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）如果对任意x1＞x2＞0，总有 ，求实数a的取值范围；（Ⅲ）求证： ． 答案：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），当 a=−12 时， f(x)=−lnx+12x2+1 ， f'(x)=−1x+x=x2−1x ，当0＜x＜1时，f'（x）＜0，当x＞1时，f'（x）＞0，故f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以 f(x)极小值=f(1)=32 ，无极大值．（Ⅱ）由题得，对任意x1＞x2＞0，x1﹣x2＞0，由 f(x1)−f(x2)x1−x2>x1+x2+4 ，得f（x1）﹣f（x2）＞（x1+x2+4）（x1﹣x2），即 f(x1)−x12−4x1>f(x2)−x22−4x2 ，令g（x）=f（x）﹣x2﹣4x，又x1＞x2＞0，∴g（x1）＞g（x2），故函数g（x）=f（x）﹣x2﹣4x在（0，+∞）上单调递增．∴ g'(x)=f'(x)−2x−4=2ax+2ax−4≥0 在（0，+∞）上恒成立，∴ 2a(1x+x)≥4 ，∵x＞0，∴ a≥2x+1x 在（0，+∞）上恒成立，又∵ 2x+1x≤22=1 （当且仅当x=1时取等号），∴不等式 a≥2x+1x 在（0，+∞）上恒成立的条件是a≥1，故实数a的取值范围为[1，+∞）．（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当a=1时，g（x）=2lnx+x2﹣4x+1在（0，+∞）上单调递增，又g（1）=﹣2，故当x＞1时，g（x）=2lnx+x2﹣4x+1＞﹣2，即2lnx＞﹣x2+4x﹣3，令 x=n+1n （n＞1，n∈N*），易知x＞1，∴ 2lnn+1n>−(n+1n)2+4(n+1n)−3=2n−1n2=2n−1n2>2n−1n(n−1)=3n−1n−1∴ 2ln32>32−11 ， 2ln43>33−12 ，…， 2lnn+1n>3n−1n−1 ，又2ln2＞1，累加得 21ln(n+1)>3n+2n−1+⋯+22>2n+2n−1+⋯+22 ，∴ ln(n+1)>12+13+⋯+1n(n>1,n∈N*)

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