题目

如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ， 为线段 的中点， 交 于点 . （1） 证明： 平面 ； （2） 求直线 与平面 所成角的正弦值. 答案： 证明：因为 AP⊥ 平面 PCD ， CD⊂ 平面 PCD ， 所以 AP⊥CD . 因为 AD//BC ， BC=12AD ， E 为 AD 的中点， 所以 BC//DE ，且 BC=DE ， 所以四边形 BCDE 为平行四边形， 所以 BE//CD . 所以 AP⊥BE . 又因为 AB⊥BC ， AB=BC=12AD ， E 为 AD 的中点， 所以四边形 ABCE 为正方形， 所以 BE⊥AC . 又 AP∩AC=A ， AP⊂ 平面 APC ， AC⊂ 平面 APC ，所以 BE⊥ 平面 APC . 又因为 PO⊂ 平面 APC ，所以 BE⊥PO . 因为 AP⊥ 平面 PCD ， PC⊂ 平面 PCD ， 所以 AP⊥PC . 又 AC=2AB=2AP ，所以 △PAC 为等腰直角三角形. 又因为 O 为斜边 AC 的中点， 所以 PO⊥AC . 又 AC∩BE=O ， AC⊂ 平面 ABCD ， BE⊂ 平面 ABCD ， 所以 PO⊥ 平面 ABCD . 解：以 O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz ： 不妨设 OB=1 ，则有点 B(1,0,0) ， C(0,1,0) ， P(0,0,1) ， D(−2,1,0) ， 所以 BC→=(−1,1,0) ， PB→=(1,0,−1) ， PD→=(−2,1,−1) . 设平面 PBD 的一个法向量 n→=(x,y,z) ， 则 {n→⋅PB→=0n→⋅PD→=0 ，即 {x−z=0−2x+y−z=0 . 令 z=1 ，得 n→=(1,3,1) . 所以 cos〈BC→,n→〉==−1×1+1×3+0×1(−1)2+12+02×12+32+12=2211 ， 所以直线 BC 与平面 PBD 所成角的正弦值为 2211

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