题目

定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，对于任意两点P(m ， y)Q(m ， y0)，m为任意实数．若y0= ，则称点Q是点P的变换点．例如：若点P(1，y)在直线y=x上，点P的变换点Q在函数y= 的图象上设点P(m ， y)在函数y=﹣x2+2x+3的图象上，点P的变换点Q所在的图象记为G ． （1） 求图象G对应的函数关系式； （2） 设图象G与x轴的交点为A、B(点A在点B的左侧)与y轴交于点C ， 连结AC、BC ， 求△ABC的面积； （3） 当﹣2≤x≤m时，若图象G的最高点与最低点之间的距离不大于 ，直接写出m的取值范围； （4） 设点P( ，y)在函数y=ax2﹣3ax﹣4a(a≠0)的图象上，点P的变换点Q所在的图象记为G1 ， 图象G1与x轴的交点为M、N(点M在点N的左侧)，连结MN ， 将MN沿y轴向上平移一个单位得到线段M'N'，当图象G1与线段M'N'只有一个交点时，求a的取值范围． 答案： 解：由题意得： 函数G的表达式为：y= {−x2+2x+3(x≥m)−12(−x2+2x+3)(x<m) ， 解：如图1，令y=0， 解得：x=﹣1或3， 故点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）， 函数对称轴为：x=1， 点C（0，3）或（0，﹣ 32 ）； 故△ABC的面积= 12 ×AB×OC=6或3； 解：①当m≤﹣1时，如图2， 当﹣2≤x≤m时，图象G的最高点为R，最低点B，点R（﹣2， 52 ）， 则yR﹣yB ≤92 ， 即 52 ﹣（﹣m2+2m+3） ≤92 ， 解得：1﹣ 6 ≤m≤1+ 6 ， 故1﹣ 6 ≤m≤﹣1； ②当﹣1≤m≤1时，如图3所示，点A（﹣2， 52 ） 当点A为最高点时， yA﹣yC ≤92 ， 即 52 + 12 （﹣m2+2m+3） ≤92 ， 解得：m为任意实数； 点B是高点时， yB﹣yC ≤92 ， 即 32 （﹣m2+2m+3） ≤92 ， 解得：m≥2或m≤0， 故﹣1≤m≤0； ③当1≤m≤3时，如图4所示，点A（﹣2， 52 ），顶点E（1，﹣2）， 当点A是最高点时， yA﹣yE= 92 ，符合条件； 当点C是最高点时， yC﹣yE ≤92 ， 即 12 （﹣m2+2m+3） ≤52 ， 解得：1﹣ 62 ≤m≤1 +62 ， 故1≤m≤1+ 62 ； ④当m≥3时，如图5所示，点A（﹣2， 52 ），顶点E（1，﹣2）， （Ⅰ）当点A是最高点时， 当点E是最低点时，yA﹣yE= 92 ； 当点D时最低点时，yA﹣yD ≤92 ， 即 52 ﹣（﹣m2+2m+3） ≤92 ， 解得：3≤m≤1+ 6 ； 故3≤m≤1+ 6 ； （Ⅱ）当点B是最高点时， 当点E是最低点时，yB﹣yE= 92 ，同理可得：m≥4， 当点D时最低点时，yB﹣yD≤ 92 ，同理可得：m≤1+ 5 ， 故：3≤m≤1+ 5 或m≥4； 综上，1﹣ 6 ≤m≤0或1≤m≤1+ 62 或3≤m≤1+ 6 或m≥4； 解：①当a＜0时，如图6所示， 当x=﹣ 12 时，对应抛物线上的实点R，则yR＞1， 即：y=ax2﹣3ax﹣4a=a（ 14 + 32 ﹣4）＞1， 解得：a <−49 ， ②当a＞0时， 当x=﹣ 12 时，﹣ 12 （ax2﹣3ax﹣4a）＜1， 即﹣ 12 a（ 14 + 32 ﹣4）＜1， 解得：a <89 ，即0＜a＜ 89 ； 综上，a的取值范围为：a <−49 或0＜a＜ 89 ．

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