题目

在△ABC中,三个内角∠A、∠B、∠C对应的边分别为a、b、c,且∠A、∠B、∠C成等差数列,a、b、c成等比数列,求证:△ABC为等边三角形. 答案：思路分析:将∠A、∠B、∠C成等差数列,转化为符号语言就是2∠B=∠A+∠C;∠A、∠B、∠C为△ABC的内角,这是一个隐含条件,明显表示出来就是∠A+∠B+∠C=π;a、b、c成等比数列,转化为符号语言就是b2=ac.此时,如果能把角和边统一起来,那么就可以进一步寻找角和边之间的关系,进而判断三角形的形状,余弦定理正好满足要求,所以可用余弦定理来证明.证明:由∠A、∠B、∠C成等差数列,有2∠B=∠A+∠C.①因为∠A、∠B、∠C为△ABC的内角,所以∠A+∠B+∠C=π.②由①②得,∠B=.③由a、b、c成等比数列,有b2=ac.④由余弦定理及③可得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac.再由④,得a2+c2-ac=ac,即(a-c)2=0,因此有a=c.从而有∠A=∠C.⑤由②③⑤得∠A=∠B=∠C=.所以△ABC为等边三角形.

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