题目

已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ，其下顶点为点 ．若斜率存在的直线 交椭圆 于 两点，且不过点 ，直线 分别与 轴交于 两点． （1） 求椭圆 的方程． （2） 当 的横坐标的乘积是 时，试探究直线 是否过定点，若过定点，请求出定点坐标；若不过，请说明理由． 答案： 解：由 e=32 得： ca=a2−b2a=1−b2a2=32 ，解得： ba=12 …①， 将 (1,32) 带入椭圆 E 方程得： 1a2+34b2=1 …②， 由①②得： a2=4 ， b2=1 ， ∴ 椭圆 E 的方程为： x24+y2=1 . 解：由（1）知： A(0,−1) ． 设直线 l 的方程为 y=kx+m(m≠−1) ， P(x1,y1) ， Q(x2,y2) ， 则直线 AP 的方程为 y=y1+1x1x−1 ，令 y=0 ，得点 M 的横坐标为 xM=x1y1+1 ， 同理可得点 N 的横坐标为 xN=x2y2+1 ， ∴xMxN=x1x2(y1+1)(y2+1)=x1x2(kx1+m+1)(kx2+m+1) =x1x2k2x1x2+k(m+1)(x1+x2)+(m+1)2 ， 由 {y=kx+mx24+y2=1 得： (4k2+1)x2+8kmx+4m2−4=0 ， 则 Δ=64k2m2−4(4k2+1)(4m2−4)>0 ，解得： m2<4k2+1 ， ∴x1+x2=−8km4k2+1 ， x1x2=4m2−44k2+1 ， ∴xMxN=4m2−44k2+1k2⋅4m2−44k2+1+k(m+1)⋅(−8km4k2+1)+(m+1)2=43 ，又 m≠−1 ， 可化简得： 4(m−1)m+1=43 ，解得： m=2 ， ∴l:y=kx+2 ， ∴ 直线 l 过定点 (0,2) .

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